Základy matematické teorie konečných prvků
Přednáška se uskuteční ve čtvrtek, a to 16. 10. 2025, v místnosti PORB5, VŠB-TUO, ve 12:30 hod.
Cílem přednášek v tomto semestru je studium řádu konvergence metody konečných prvků (MKP). Ten závisí jednak na hladkosti řešení daného problému a zároveň na výběru konečného prvku, pomocí kterého řešení aproximujeme. Tato problematika je zajímavá nejen z teoretického, ale i z výpočetního hlediska, neboť umožňuje optimální výběr konečného prvku pro řešení daného problému. Je známo, že řád konvergence MKP je určen aproximativními vlastnostmi konečného prvku, tj. schopností nahradit obecnou funkci na daném elementu v jistém smyslu „blízkou“ funkcí, použitou v definici prvku a umět chybu této náhrady určit. Pro názornost: např. chybu Lagrangeovy či Hermitovy interpolace funkce na daném elementu pomocí polynomů. Tuto problematiku budeme studovat v rámci Sobolevových prostorů avšak pro abstraktní operátory aproximace. Získané výsledky se proto dají použít pro širokou škálu konečných prvků nejen Lagrangeova a Hermiteova typu, jejichž stupně volnosti jsou definovány hodnotami funkce, či jejich derivací ve vybraných bodech, ale i pro méně standardni prvky, např. Raviart- Thomasovy a jiné, které používají integrální stupně volnosti.
Krátce si připomeneme některé méně známé vlastnosti Sobolevových prostorů, které budeme potřebovat, jako jsou věty o vnoření, vztah mezi normami funkcí dvou afinně ekvivalentních Sobolevových prostorů. Odvodíme odhad chyby operátoru aproximace, který zachovává polynomy stupně ≤ k . Ukážeme, jak tato chyba závisí na k a na hladkosti aproximované funkce. Výsledky budeme ilustrovat na konkrétních příkladech.